0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Какие поверхности называют линейчатыми

Какие поверхности называют линейчатыми

2.3.3.2. ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ.

2.3.3.2.1. Развертывающиеся линейчатые поверхности
2.3.3.2.2. Неразвертывающиеся (косые) линейчатые поверхности

Как уже отмечалось, поверхность называется линейчатой, если она может быть образована перемещением прямой линии. Поверхность, которая не может быть образована движением прямой линии, называется нелинейчатой. Например, конус вращения – линейчатая поверхность, а сфера – нелинейчатая. Через любую точку линейчатой поверхности можно провести, по крайней мере, одну прямую, целиком принадлежащую поверхности. Множество таких прямых представляет собой непрерывный каркас линейчатой поверхности. Линейчатые поверхности разделяются на два вида:

1) развертывающиеся поверхности;
2) неразвертывающиеся, или косые поверхности.
Примечание.
Все нелинейчатые поверхности являются неразвертывающимися.

Поверхность называется развертывающейся, если она путем изгибания может быть совмещена с плоскостью без образования складок и разрывов. Очевидно, что все многогранные поверхности являются развертывающимися. Из кривых поверхностей этим свойством обладают только те линейчатые поверхности, которые имеют ребро возврата.
Существует только три вида линейчатых поверхностей, имеющих ребро возврата: торсы, конические и цилиндрические (Рис. 2.3.19) .

Торсы

1) пространственная ломаная линия 1, 2, 3, 4, 5, б. преобразуется в пространственную кривую линию m;
2) ребра многогранной поверхности преобразуются в касательные к пространственной кривой m;
3) многогранная поверхность преобразуется в линейчатую двухполую развертывающуюся кривую поверхность, которая называется торсом.

Множество всех касательных прямых к пространственной кривой представляет собой непрерывный каркас поверхности торса. Через каждую точку поверхности проходит одна касательная к кривой m. Таким образом, торс представляет собой поверхность, которая образуется непрерывным движением прямолинейной образующей, касающейся во всех своих положениях некоторой пространственной кривой линии. Направляющая пространственная кривая m (рис. 2.3.20, б) служит границей между двумя полостями поверхности торса и называется ребром возврата. Если взять на кривой m какую-либо точку В и провести через нее плоскость , пересекающую обе полости поверхности, то полученная в пересечении кривая АВС будет иметь так называемую точку возврата B. Следовательно, ребро возврата является множеством точек возврата кривых линий, полученных при пересечении данной поверхности различными плоскостями. Этим и объясняется ее название. Если ребром возврата является цилиндрическая винтовая линия, то такая поверхность называется развертывающимся геликоидом. Так как углы наклона всех образующих этой поверхности к плоскости, перпендикулярной оси винтовой линии, одинаковы, она является поверхностью одинакового ската.

Плоскость, перпендикулярная оси поверхности, пересекает ее по эвольвенте окружности. Свойством развертываемости торс обладает потому, что он является пределом некоторой развертывающейся многогранной поверхности. Геометрическая часть определителя торса состоит из ребра возврата. Алгоритмическая часть определителя торса состоит из указания о том, что образующая прямая при своем движении остается касательной к ребру возврата. Если ребро возврата выродится в собственную точку пространства, то образующие торса, проходя через нее, образуют коническую поверхность произвольного вида. Если эта точка (вырожденное ребро возврата) будет несобственной точкой пространства, то образующие торса, проходя через нее, окажутся параллельными между собой и образуют цилиндрическую поверхность общего вида. Таким образом, цилиндрическая и коническая поверхности обладают свойством развертываемости, так как являются частными случаями поверхности торса. Однако, чтобы задать коническую или цилиндрическую поверхности, недостаточно иметь только ребро возврата (собственную или несобственную точку) – положение образующей прямой не определяется одной точкой. Необходимо задать еще направляющую линию.
Рис. 2.3.20, 1 анимация

К вопросу о развертываемости кривой линейчатой поверхности можно подойти и с точки зрения дифференциальной геометрии, которая доказывает, что линейчатая поверхность является развертывающейся, если касательная плоскость, проведенная в какой-либо точке поверхности, касается ее по прямолинейной образующей поверхности, проходящей через эту точку. Таким свойством обладают только три вида поверхностей: торс, коническая и цилиндрическая.
Анимационный рис. 2.3.20. 1 показывает кинематику формирования торса, у которого в качестве направляющей взята винтовая линия. Поверхность образована перемещением прямой по направляющей пространственной кривой ( винтовой линии). В процессе движения в каждый момент времени образующая прямая является касательной к направляющей.

Цилиндрические поверхности

Неподвижная кривая m(m1 m2), по которой скользит образующая l(l1l2), называется направляющей. Если направляющая линия является кривой второго порядка, то и цилиндрическая поверхность будет второго порядка. Геометрическая часть определителя цилиндрической поверхности состоит из направляющей линии m и исходного положения образующей l (рис. 2.3.21).
Алгоритмическая часть определителя состоит из указания о том, что любая образующая поверхности может быть построена как прямая, пересекающая кривую m и параллельная прямой l. Цилиндрическая поверхность является бесконечной в направлении своих образуюших. Часть замкнутой цилиндрической поверхности, заключенная между двумя плоскими параллельными сечениями, называется цилиндром, а фигуры сечения – его основаниями (рис. 2.3.22, 2.3.23). Сечение цилиндрической поверхности плоскостью, перпендикулярной ее образующим, называется нормальным. В зависимости от формы нормального сечения цилиндры бывают:
Рис. 2.3.22

1) круговые – нормальное сечение круг (рис. 2.3.22);
2) эллиптические – нормальное сечение эллипс (рис. 2.3.23);
3) параболические – нормальное сечение парабола;
4) гиперболические – нормальное сечение гипербола;
5) общего вида – нормальное сечение кривая случайного вида (рис. 2.3.20).

Наклонные сечения прямого эллиптического цилиндра в общем случае – эллипсы. Однако его всегда можно пересечь плоскостью, наклонной к его образующим, таким образом, что в сечении получится круг. Эллиптический цилиндр имеет две системы круговых сечений (построение их рассмотрено в гл. 4). На рис. 2.3.23, а показаны плоскости Г(Г2) и Г'(Г’2), пересекающие эллиптический цилиндр по окружностям. На рис. 2.3.23, б, в выполнены чертежи наклонных эллиптических цилиндров, основаниями которых являются их круговые сечения.

Конические поверхности

Неподвижная кривая m(m1,m2), по которой скользит образующая l(l1,l2), называется направляющей. Если направляющая линия является кривой второго порядка, то и коническая поверхность будет второго порядка. Неподвижная точка S(S1,S2), делящая поверхность на две бесконечные полы, называется вершиной. Множество прямолинейных образующих представляет собой непрерывный каркас конической поверхности. Через каждую точку поверхности проходит одна прямолинейная образующая (исключением является только вершина S, которая называется “особой точкой поверхности”. Геометрическая часть определителя конической поверхности состоит из направляющей кривой m и вершины S.
Алгоритмическая часть определителя состоит из указания о том, что любая образующая поверхности может быть построена как прямая, проходящая через вершину S и пересекающая кривую m. Часть замкнутой конической поверхности, ограниченная вершиной и какой-либо плоскостью, пересекающей все ее образующие, называется конусом. Фигура сечения конической поверхности этой плоскостью называется основанием конуса. Сечение конической поверхности плоскостью, перпендикулярной ее оси, называется нормальным. Осью конической поверхности называется линия пересечения ее плоскостей симметрии. Следовательно, не все конические поверхности имеют ось, а только те, которые имеют не меньше двух плоскостей симметрии.
Конические поверхности, не имеющие оси (а следовательно, и нормального сечения), называются коническими поверхностями общего вида.

Читать еще:  Как измерить дроссель мультиметром

Конические поверхности, имеющие ось, в зависимости от вида нормального сечения бывают:
1) круговые – нормальное сечение круг (рис. 2.3.25);
2) эллиптические – нормальное сечение эллипс (рис. 2.3.26) и другие.
Если за основание конуса принимается фигура его нормального сечения, конус называют прямым, если иное сечение – наклонным. Прямой круговой конус изображен на рис. 2.3.25, а, наклонный круговой конус – на рис. 2.3.25, б. Основанием такого конуса может быть только эллипс (см. раздел 4), ось его не проходит через центр основания.
Прямой эллиптический конус показан на рис. 2.3.26, а. Эллиптический конус (так же как и эллиптический цилиндр) имеет две системы круговых сечений. Построение круговых сечений поверхностей второго порядка рассматривается в разделе 4.3.

Если принять одно из них за основание конуса, получим наклонный эллиптический конус с круговым основанием (рис. 2.3.26, б). Ось наклонного конуса не проходит через центр основания. Заметим, что у всех развертывающихся линейчатых поверхностей две смежные образующие либо пересекаются (торс, коническая поверхность), либо параллельны (цилиндрическая поверхность).

Начертательная геометрии и инженерная графика

Понятие о линейчатой поверхности

Линейчатой поверхностью называется поверхность, образованная при перемещении прямой линии в пространстве по какому-либо закону. Характер движения прямолинейной образующей определяет вид линейчатой поверхности. Обычно закон движения образующей задаётся с помощью направляющих линий. В общем случае для задания линейчатой поверхности необходимы три направляющие линии. Выделим на линейчатой поверхности три какие-нибудь линии a, b и c и примем их за направляющие. Покажем, что движение прямолинейной образующей l определится единственным образом (рис.11.1).

Возьмём на направляющей a некоторую точку K и проведём через неё пучок прямых, пересекающих направляющую с. Эти прямые образуют коническую поверхность с вершиной в точке K. Направляющая b будет пересекаться с конической поверхностью в некоторой точке N. Построенная точка N и точка K определят прямую l, пересекающую направляющую c в точке M. Таким образом, каждой точке К направляющей a будет соответствовать единственная образующая. Перемещая точку К вдоль направляющей a, можно получить другие положения образующей прямой, т.е. построить каркас линейчатой поверхности.

В зависимости от формы направляющих линий линейчатые поверхности с тремя направляющими подразделяются на:

косой цилиндр с тремя направляющими – все три направляющие кривые линии;

конусоид – две направляющие кривые линии, а третья – прямая;

однополостный гиперболоид – все направляющие прямые линии.

Для построения точки на линейчатой поверхности необходимо воспользоваться вспомогательной линией, в качестве которой используют прямолинейную образующую или произвольную кривую линию.

Помимо указанного общего способа образования линейчатой поверхности при помощи трёх направляющих существуют и другие способы, которые путём наложения дополнительных ограничений определяют закон движения прямолинейной образующей.

Линейчатые поверхности с 2-мя направляющими

Линейчатую поверхность можно задать с помощью двух направляющих линий. Однако вместо третьей направляющей в этом случае необходимо добавить условие, которое должна выполнять прямолинейная образующая в процессе своего движения. Чаще всего в качестве такого условия применяется условие параллельности образующей некоторой плоскости. Такая плоскость называется плоскостью параллелизма, а линейчатая поверхность, заданная таким способом – линейчатой поверхностью с плоскостью параллелизма или поверхностью Каталана. Роль плоскости параллелизма может выполнять одна из плоскостей проекций, проецирующая плоскость или плоскость уровня, а также плоскость общего положения.

В зависимости от формы направляющих линий линейчатые поверхности с двумя направляющими подразделяются на:

цилиндроиды – обе направляющие кривые;

коноиды – одна направляющая кривая, другая прямая;

гиперболические параболоиды (косые плоскости) – обе направляющие прямые линии.

Пусть, например, поверхность цилиндроида Φ задана направляющими a и b и плоскостью параллелизма Σ (рис.11.2). Определитель поверхности: Φ(a,b,Σ). Необходимо построить несколько положений образующей линии, т.е. построить каркас поверхности. Для этого возьмём на направляющей a несколько точек и через них проведём прямые, параллельные плоскости Σ и пересекающие направляющую b. Построенные образующие будут являться скрещивающимися прямыми. Эти скрещивающиеся прямые вместе с направляющими и определяют каркас линейчатой поверхности.

Комплексный чертёж поверхности цилиндроида, заданного направляющими кривыми a и b и плоскостью параллелизма Σ приведён на рис.11.3.

Построение каркаса образующих линейчатой поверхности начинаем с плоскости П1, т.к. заданная плоскость параллелизма Σ является горизонтально проецирующей плоскостью. Поэтому на горизонтальной проекции направляющей a1 выбираем пять произвольных точек и обозначаем их 11, 21, …, 51. Через эти точки проводим горизонтальные проекции образующих параллельно Σ1. Точки пересечения образующих с направляющей b1 обозначаем теми же цифрами, но с добавлением штрихов. Используя вертикальные линии связи, находим фронтальные проекции точек пересечения образующих с направляющими. Соединив найденные фронтальные проекции точек между собой, получаем искомый каркас образующих линейчатой поверхности.

Читать еще:  Какая стиральная машина лучше lg или samsung

Также на рис.11.3 показано построение недостающих проекций точек K и N, лежащих на линейчатой поверхности. У точки K задана горизонтальная проекция K1, а у точки N – фронтальная проекция N2. Чтобы построить фронтальную проекцию точки K, необходимо провести вспомогательную образующую 66’, проходящую через точку К. Сначала через заданную проекцию точки К1 проводится горизонтальная проекция образующей 6161’, параллельно Σ1. Далее выполняется построение фронтальной проекции этой образующей 6262’. Искомая проекция точки К2 определяется с помощью вертикальной линии связи.

Для построения горизонтальной проекции точки N необходимо воспользоваться произвольной вспомогательной линией, лежащей на линейчатой поверхности. Это связано с тем, что положение прямолинейной образующей, проходящей через фронтальную проекцию точки N2, неопределенно. Поэтому через точку N2 проводится произвольная линия и отмечаются точки её пересечения с образующими поверхности (точки 72, 82, 92, 102, 112). После построения горизон­тальной проекции этой линии находят недостающую горизонтальную проекцию точки N1.

На рис.11.4 показано построение каркаса поверхности гиперболического параболоида, заданного направляющими прямыми a, b и плоскостью параллелизма П2. Сначала строятся горизонтальные проекции нескольких прямолинейных образующих, параллельно фронтальной плоскости проекций П2, и отмечаются точки пересечения образующих с направляющими. С помощью вертикальных линий связи эти точки переносятся на фронтальные проекции направляющих. Соединив найденные точки между собой, получим фронтальные проекции образующих линейчатой поверхности.

Своё название (гиперболический параболоид) линейчатая поверхность получила из-за того, что при пересечении ее соответствующими плоскостями в сечении можно получить параболы и гиперболы (рис.11.5).

Линейчатые развертываемые поверхности

Цилиндрическая поверхность (рисунок 89) образована движением прямой образующей по кривой направляющей, оставаясь параллельной заданному направлению.

Рисунок 89 Рисунок 90

Если направляющая – ломаная линия, то поверхность будет гранной (частный случай такой поверхности будет призма) (рисунок 90).

Коническая поверхность (рисунок 91) образована перемещением прямой образующей по кривой направляющей, причем образующая в любом положении проходит через одну точку – вершину.

Рисунок 91 Рисунок 92

Поверхность с ребром возврата (рисунок 92) образуется перемещением прямой образующей таким образом, что образующая во всех положениях остается касательной к кривой направляющей. Эта кривая называется ребром возврата (Е-1-2-3-4-5-F).Такая поверхность является развертываемой, так как смежные прямолинейные образующие лежат в одной плоскости. Если принять за ребро возврата плоскую кривую линию, то поверхность превратится в плоскость.

Цилиндроид – поверхность, образованная перемещением прямой линии (образующей) по двум кривым (направляющим), не лежащим в одной плоскости (рисунки 93 и 94). Образующая, перемещаясь, остается параллельной плоскости параллелизма R. Взаимное расположение направляющих линий и плоскости параллелизма должно быть неизменным.

Рисунок 93 Рисунок 94

Любая плоскость, параллельная плоскости параллелизма, пересекает цилиндроид (рисунок 93) и коноид (рисунок 94) по прямой линии. Следовательно, чтобы построить образующую цилиндроида или коноида, необходимо провести плоскость, параллельную плоскости параллелизма, найти точки пересечения этой плоскости с направляющими линиями и полученные точки соединить. Полученная прямая и будет образующей цилиндроида или коноида.

Нелинейчатые поверхности

Нелинейчатые поверхности – поверхности, образованные в результате перемещения кривой линии (образующей) по другой кривой (направляющей) с определенной закономерностью или произвольно. Нелинейчатые поверхности являются неразвертываемыми. К ним относятся эллипсоид, эллиптический параболоид, двуполостный гиперболоид, циклические поверхности и др.

Поверхности вращения

В результате перемещения какой – либо образующей (прямолинейной или криволинейной) вокруг неподвижной оси образуется поверхность вращения. Это линейчатые поверхности прямого кругового цилиндра и конуса (рисунки 89-91). Криволинейные поверхности вращения (поверхности общего вида) образуются вращением произвольной криволинейной образующей вокруг вертикальной оси.

Каждая точка образующей линии при вращении вокруг оси описывает окружность. Примерами таких поверхностей могут служить сфера, тор и др.

Плоскости, перпендикулярные к оси поверхности, пересекают поверхность по окружностям, которые называются параллелями. Параллель с наибольшим радиусом называют экватор, с наименьшим радиусом – горло. Секущие плоскости, проходящие через ось вращения, пересекают эту поверхность вращения по линиям, которые называются меридианами (рисунок 95).

Сфера – поверхность, образованная вращением окружности вокруг своего диаметра (рисунок 96). На чертеже сфера изображается на всех плоскостях проекций окружностью одного и того же радиуса.

Тор – поверхность, которая образуется вращением окружности вокруг оси, лежащей с ней в одной плоскости и пересекает, но не проходит через ее центр (рисунок 97). Если ось вращения не пересекает окружность, тор называется открытым или круговым (рисунок 97), а если пересекает – закрытым .

Точка на поверхности

Точка находится на поверхности, если она принадлежит какой – либо линии, расположенной на данной поверхности. На практике чаще всего приходится определять положение одной точки или их множества на поверхности конкретных геометрических тел.

Геометрические тела делятся на две группы. К первой группе относятся многогранники, ко второй поверхности вращения. На рисунке 98 дан чертеж призмы и фронтальная проекция точки Е (Е2), лежащей на поверхности призмы. Требуется найти горизонтальную проекцию точки (Е1), если она лежит на видимой грани призмы

На основании условия принадлежности точки поверхности, через точку Е в грани А2А / 2 В2В / 2 проходит прямая 121 / 2 параллельная ребрам призмы. Горизонтальные проекции точек 11 и 1 / 1 определяются по принадлежности их отрезкам нижнего АВ и верхнего А / В / оснований призмы. Проекция точки Е1 будет находиться на проекции прямой 111 / 1.Так как грань АА / В / В на горизонтальной проекции видима, то и проекция Е1 будет видима.

Читать еще:  Как заряжать алкалиновые батарейки

На рисунке 99 задана горизонтальная проекция точки М, лежащей на поверхности трехгранной пирамиды. Требуется определить ее фронтальную проекцию.

Рисунок 98 Рисунок 99

Как и в предыдущей задаче, с учетом видимости граней пирамиды и точки М, находим недостающую фронтальную проекцию точки М2, используя, в качестве вспомогательной, прямую S1, проведенную на грани АСS.

На рисунке 100 показаны точки А и В на поверхности конуса, а на рисунке 101 –точки А и В на поверхности сферы. Заданы фронтальная проекция А2 и горизонтальная проекция В1, принадлежащих поверхностям конуса и сферы. Требуется найти их недостающие проекции, при условии, что точка А находится на обращенной к наблюдателю поверхности сферы , точка В – на невидимой.

На рисунке 100 горизонтальная проекция точки А1 определена введением образующей конуса через точку А, а горизонтальная проекция точки В с помощью параллели радиуса R2, полученной от рассечения конуса плоскостью Р (Р2).

Рисунок 100 Рисунок 101

Так как сферическая поверхность образуется вращением окружности вокруг одного из ее диаметров, то любая ее точка при вращении описывает окружность соответствующего радиуса. Если плоскость этой окружности параллельна плоскости проекций, то окружность проецируется на нее без искажения. Через точку А на поверхности сферы нужно провести окружность радиуса R1, которая проецируется на плоскости П2 в виде прямой, а на плоскость П1– в виде окружности. Горизонтальная проекция А1 будет находиться на этой окружности.

Аналогично строится фронтальная проекция В2, но с учетом невидимости, на окружности радиуса R2 ближе к плоскости П1 (дальше от наблюдателя).

Построения точек А и В на поверхности конуса понятно из рисунка 100.

Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; Нарушение авторского права страницы

Линейчатые поверхности. Принадлежность линии и точки к поверхности

Линейчатой называется поверхность, образующей которой является прямая линия.

В общем случае линейчатая поверхность однозначно определяется тремя направляющими линиями [8, стр. 142].

Задать поверхность на чертеже – значит указать условия, позволяющие построить каждую точку этойповерхности. Для задания поверхности достаточно иметь проекции направляющей линии и указать, как строится образующая прямая, проходящая через любую точку направляющей. Однако, для придания наглядности изображения, вычерчивают очерк, линии видимости и строят точки на поверхности.

Коническая поверхность образуется прямой линией, проходящей через некоторую неподвижную точку и последовательно через все точки некоторой кривой направляющей линии. Если направляющей линией является окружность, то поверхность называется наклонным или эллиптическим конусом.

На рис. 3.10 представлены: направляющая окружность – m; неподвижная точка – S; прямолинейная образующая – l . Это первая часть определителя – геометрическая. Образующая движется по направляющей, оставаясь неподвижной в точке S. Описание закона движения является алгоритмической частью определителя. При этих условиях поверхность на чертеже считается заданной. Для придания наглядности, на рис. 3.11 построены очертания поверхности, линии видимости и промежуточная точка, принадлежащая поверхности.

Построение точек, принадлежащих поверхности, осуществляется следующим образом. Пусть задана фронтальная проекция точки А (А”). На фронтальной плоскости она изображена как невидимая. Для построения ее горизонтальной проекции через точку задаем линию, принадлежащую поверхности. Этой линией будет окружность, так как линия задана параллельно основанию, а основанием является окружность. Центр окружности лежит на осевой линии поверхности. Проводим линию связи из центра окружности на горизонтальную плоскость до пересечения с горизонтальной осевой поверхности. Строим окружность, которой принадлежит точка А.. По линии связи отмечаем ее местоположение с учетом видимости для горизонтальной плоскости, где точка является видимой. Аналогичные построения выполняются для наклонного (эллиптического) цилиндра.

Тема 4

Позиционные задачи

Все задачи начертательной геометрии условно могут быть разделены на метрические и позиционные. К метрическим задачам относятся задачи на измерение линейных и угловых величин. Решение этих задач будет рассмотрено ниже.

К позиционным задачам относятся задачи на принадлежность и взаимное пересечение геометрических фигур. По существу решение позиционных задач сводится к нахождению точек одновременно принадлежащих двум или более фигурам. Задачи на определение принадлежности одной геометрической фигуры к другой частично уже рассмотрены:

o принадлежность точки к прямой (рис. 1.23) .

o принадлежность линии к поверхности. Рис. 3.9 ;

o принадлежность точки к поверхности. Рис. 3.11

Задачи на построение линий пересечения геометрических фигур условно можно разделить на три группы:

o пересечение плоскости с поверхностью;

o пересечение прямой линии с плоскостью и с поверхностью.

o взаимное пересечение поверхностей.

Решение всех типов позиционных задач на пересечение подчиняются общему алгоритму. На рис. 4.1 представлена поверхность полусферы и усеченного конуса. Для построения точек, одновременно принадлежащих этим поверхностям, воспользуемся общим алгоритмом.

1. Вводится вспомогательная поверхность, в частном случае – плоскость. Эта вспомогательная поверхность назначается таким образом, чтобы она пересекла обе фигуры по простым для построения линиям – по прямым или по окружностям.

2. Строятся линии пересечения вспомогательной поверхности с каждой из заданных фигур.

3. Отмечаются точки взаимного пересечения построенных линий. Эти точки принадлежат обеим фигурам, следовательно, являются элементом пересечения фигур.

4. Соединяют точки в определенной последовательности и определяют видимость линии пересечения и фигур друг относительно друга.

Находить точки для построения линии взаимного пересечения фигур надо в определенной последовательности.

1. В первую очередь отмечают точки на контурных образующих или на ребрах, если поверхностигранные.

2. Находят экстремальные точки: наивысшую; наинизшую; самую левую; самую правую; самую ближнюю и самую дальнюю.

3. Отмечают точки на линиях среза (принадлежащие основаниям).

4. Если построенных точек недостаточно для выявления формы линии взаимного пересечения, строят ряд промежуточных (случайных) точек.

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector